diff --git a/groff/tarea7-respuesta.ms b/groff/tarea7-respuesta.ms new file mode 100644 index 0000000..6f22250 --- /dev/null +++ b/groff/tarea7-respuesta.ms @@ -0,0 +1,391 @@ +.so letter.tmac \" US letter +.so math.tmac +.so es.tmac +.nr PS 11 +.nr VS 13 +.ds CH +. +. +.CD +.sp -1i +FS-0330. Física II. Tarea no. 7 +Gustavo Calvo C11437 +.CE +. +. +. +.NH +Sifón (20 puntos) +.LP +El sifón es un aparato que permite extraer líquido de un recipiente sin volcarlo. +En la figura se muestra el esquema para un sifón. Para que el agua fluya de un +punto $A$ adentro del recipiente a un punto más bajo $C$ por fuera, es necesario +que el tubo esté inicialmente lleno. Luego el líquido seguirá fluyendo hasta +que el nivel descienda por debajo de la boca del tubo en $A$. El líquido tiene +una densidad $rho$ y una viscosidad despreciable. +. +.defcolor red rgb #f7dbd4 +.PS +X: circle rad 0.00 invis +line down 1.5i +line right 1.2i +line up 1.5i +Y: circle rad 0.00 invis +move to X +move down 0.89i +P: move right 0.6i +box width 1.18 ht 1.2 at P color "red" +move to Y +move left 0.45i +move down 0.825i +A: circle rad 0.00 invis "\h'-2'\v'-0.6'$A$" +line up 1.2i +V: circle rad 0.00 invis +J: move right 0.55 +B: move up 0.55i "\v'-0.6'$B$" +move down 0.55i +U: move right 0.56i +arc from U to V +line down 2.5i from U +C: circle rad 0.00 invis "\h'-3'\v'0.6'$C$" +move to A +move right 0.1i +A: circle rad 0.00 invis +line up 1.2i +V: circle rad 0.00 invis +J: move right 0.275 +B: move up 0.55i +move down 0.55i +U: move right 0.64i +arc from U to V +line down 2.5i from U +C: circle rad 0.00 invis +move to A +move left 0.05i +A: circle rad 0.00 invis +line up 1.2i thickness 6.5 color "red" +V: circle rad 0.00 invis +J: move right 0.275 +B: move up 0.55i +move down 0.55i +U: move right 0.738i +arc from U to V thickness 6.5 color "red" +line down 2.8i from U thickness 6.5 color "red" +C: circle rad 0.00 invis +move to A +move right 0.5i +arrow up 1.65i "\v'-1.5'\h'1.5'$h sub 1$" +arrow down 1.12i +arrow down 0.54i +arrow up 0.54i "\v'-0.1'\h'1.5'$d$" +arrow down 1.84i +arrow up 1.32i "\v'-0.2'\h'1.5'$h sub 2$" +.PE +. +. +. +.LP +\fB(a) (6 puntos)\fP Encuentre la velocidad $vel$ con que el lı́quido sale del tubo en $C$. +.EQ +p sub A + cancel { 1 smallover 2 rho vel sub A sup 2 } + rho g h sub 2 ~~=~~ +p sub C + 1 smallover 2 rho vel sub C sup 2 + cancel { rho g h sub C } +.EN +.EQ +p sub A = l[ p sub atm + rho g d r] ~~and~~ p sub C = l[ p sub atm r] +~~~->~~~ +l[ cancel { p sub atm } + rho g d r] ++ rho g h sub 2 ~~=~~ +left [ cancel { p sub atm } right ] ++ 1 smallover 2 rho vel sub C sup 2 +.EN +.EQ +{ sqrt { 2g l( d+ h sub 2 r) } = vel sub C } +.EN +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(b) (6 puntos)\fP Encuentre la presión del líquido en el punto más alto del tubo, $B$. +.EQ +p sub B ~~=~~ p sub atm - +pile { size -2 { pile { roman "Presión" above roman "columna A" } } above box { rho g h sub 1 } above ~ } +- +pile { size -2 { pile { roman "Presión" above roman "columna C" } } above box { rho g l( h sub 1 + d + h sub 2 r) } above ~ } + ~~=~~ p sub atm - rho g l( 2h sub 1 + d + h sub 2 r) +.EN +. +.LP +\fB(c) (8 puntos)\fP Encuentre la mayor altura $h sub 1$ a la que el sifón puede elevar el agua. +.LP +Justifique claramente su respuesta. +.QP +Dado que la presión debe ser mayor a cero, se puede confeccionar la siguiente inecuación en la que +$d + h sub 2$ igual a cero maximiza la altura conservando las características de sifón. +.QE +.EQ "*Expresión obtenida en (b)" +p sub B = 101325 Pa - 9800 l( 2h sub 1 + d + h sub 2 r) Pa ~~>~~ 0 +.EN +.EQ +101325 / { 2 ~.~ 9800 } - cancel { { l( d + h sub 2 r) } / 2 } ~~>~~ +h sub 1 ~~~->~~~ 5.17 m ~~>~~ h sub 1 +.EN +.LP +. +. +. +.2C +.NH +Coeficientes de descarga (25 puntos) +.LP +Un fluido ideal e incompresible está sujeto a un campo gravitacional constante $-g z hat$. +El fluido está contenido en un tanque cuya superficie superior está abierta a la atmóstera. +Considere el tubo re-entrante horizontal que se muestra en la figura. +El tubo tiene un área transversal $A$. El fluido que sale por el tubo forma un chorro +que se angosta hasta alcanzar un área transversal $a$, tal que $a < A$. +.PS +X: circle rad 0.00 invis +line down 1i +line right 1.2i +line up 0.15i +line up 0.15i invis +A: line up 0.7i +Y: circle rad 0.00 invis +move to X +move down 0.89i +P: move right 0.6i +P: move up 0.45i +box width 1.18 ht 0.5 at P color "red" +line left 0.35i from A +line down 0.15i invis +line right 0.35i +P: move to P +P: move down 0.485i +box width 1.18 ht 0.128 at P color "red" +P: move to P +P: move up 0.15i +P: move left 0.175i +box width 0.83 ht 0.2 at P color "red" +"\h'1'$p sub 1$" +P: move to P +I: move right 0.4i +I: move up 0.06i +for i = 0 to 9 do { + move down 0.01i + I: move right 0.001i + circle rad 0.02 at I color "red" +} +move up 0.05i +move left 0.15i +for i = 0 to 9 do { + move down 0.005i + I: move right 0.001i + circle rad 0.02 at I color "red" +} +for i = 0 to 9 do { + move down 0.001i + I: move right 0.001i + circle rad 0.02 at I color "red" +} +move left 0.4i +for i = 0 to 9 do { + I: move right 0.001i + circle rad 0.02 at I color "red" +} +move left 0.4i +for i = 0 to 9 do { + I: move right 0.001i + circle rad 0.02 at I color "red" +} +move up 0.03i +move left 0.2i +for i = 0 to 4 do { + I: move right 0.001i + circle rad 0.04 at I color "red" +} +"\h'7'\v'0.2'$-> a$" +"\h'-4'$A ->$" +.PE +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(a) (3 puntos)\fP Encuentre la tasa a la que fluye moméntum a través de la +superficie a en donde el chorro alcanza su grosor mínimo. Exprese su respuesta +en términos de $a$ y de la velocidad $vel$ del chorro en ese punto. +.EQ +m dot = rho ~.~ vel ~.~ a +.EN +.EQ +p = m ~.~ vel ~~~->~~~ p dot = m dot vel + cancel { m vel dot } +.EN +.EQ +p dot = rho vel sup 2 a = 10 sup 3 vel sup 2 a ~.~ N +.EN +. +.EQ +~ +.EN +\fB(b) (3 puntos)\fP Explique claramente por qué, si el tanque es mucho más +grande que el tubo, podemos tomar que todo el fluido que está en contacto con +las paredes del tanque está uniformemente en reposo. +.QP +El volumen $V$ expulsado por el orificio después de un tiempo $t$ está +directamente relacionado con el cambio de volumen $V$ dentro del envase. +Dado que $V (t) = vel sub 0 t . A = vel sub 1 t . a$, si se toma que A>>a y por lo +tanto $a smallover A approx 0$, entonces +$vel sub 0 = vel sub 1 . a smallover A approx 0$. +Siendo $vel sub 0$ la velocidad en cualquier punto no cercano al orificio, +es decir, que el fluido se encuentra uniformemente en reposo cuando cumple +estas condiciones. +.QE +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(c) (3 puntos)\fP Aplique el teorema de Bernoulli para relacionar $vel$ +con la presión $p sub 1$ del fluido en reposo junto a la pared vertical +opuesta a la boca del tubo (i.e., a la misma altura del tubo). +.EQ +p sub 1 = P sub atm + rho g h +.EN +.EQ +cancel {P sub 1} sup {P sub atm} + cancel {1 smallover 2 rho vel sub 1 sup 2} + rho g h sub 1 = +cancel {P sub 2} sup {P sub atm} + 1 smallover 2 rho vel sub 2 sup 2 + cancel {rho g h sub 2} +.EN +.EQ +p sub 1 = +P sub atm + 1 smallover 2 rho vel sub 2 sup 2 +.EN +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(d) (6 puntos)\fP Usando los resultados previos y las leyes de Newton +aplicadas a un elemento de fluido que sale por el tubo, demuestre que +$a smallover A = 1 smallover 2$ +.EQ +F = [ p sub 1 ] ~.~ A = [ p sub 2 ] ~.~ a = p dot +.EN +.EQ +left [ 1 smallover 2 cancel {rho vel sup 2} right ] ~.~ A = +left [ cancel {rho vel sup 2} right ] ~.~ a +.EN +.EQ +a / A = 1 / 2 +.EN +.EQ +~ +.EN +. +.LP +Ahora suponga que en lugar de un tubo re-entrante tenemos un agujero +circular sencillo de área $A$ sobre la pared vertical del tanque, como +se muestra en la segunda figura. +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(e) (3 puntos)\fP Explique por qué la conclusión de la parte (b) +ya no se sostiene. ¿Qué ocurre con la presión del fluido en contacto +con las paredes del tanque en las cercanías del agujero? +. +.QP +Al acercarse al agujero la velocidad del fluido aumenta de manera que +no se puede considerar que esté en reposo, además, la presión se acerca +a presión atmosférica de manera que ya no se pueden realizar las mismas +suposiciones. +.QE +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(f) (4 puntos)\fP En este caso, ¿espera que $a/A$ sea igual, +mayor o menor que $1/2$? Justifique claramente su respuesta. +. +.QP +En este caso, debería ser igual ya que por continuidad la relación +entre velocidad y área debe ser igual para $A$ y $a$, por lo tanto, +es igual dado que solamente involucra las velocidades. +.QE +. +.1C +.LP +\fB(g) (3 puntos)\fP Basado en los resultados previos, +¿cuál configuración el tanque se vaciará más rápidamente, +si los dos tanques tienen las mismas dimensiones y si la +altura inicial del fluido es la misma? ¿Cómo podemos minimizar +el tiempo de descarga, dada un área $A$ del agujero sobre la +pared externa del tanque? +.QP +Deberían vaciarse al mismo tiempo ya que la velocidad de salida +depende de la presión ejercida por una columna vertical, en la que +una variación horizontal de la forma del agujero no tiene afectación. +.QE +.QP +Con base en lo anterior, la altura de la columna de agua puede aumentarse +al reducir el área transversal del recipiente. De esta manera, manteniendo +el volumen se puede aumentar la velocidad de salida sin modificar otra propiedad. +.QE +. +.bp +.NH +Flujo de Poiseuille (25 puntos) +.LP +Un líquido con viscosidad $eta$ tiene un flujo laminar estacionario en un tubo +cilíndrico horizontal de radio $R$ y longitud $L$, como se muestra en la figura. +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(a) (6 puntos)\fP Considere un cilindro arbitrario de fluido de radio $r$. +Demuestre que la fuerza viscosa $F$ sobre el cilindro, debida a la capa circundante, es +$F = - eta ( 2 pi r L ) dv / dr$ +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(b) (3 puntos)\fP Demuestre que la fuerza $F$ que empuja al cilindro +a lo largo del tubo es $F' = ( pi r sup 2 ) Delta p$ +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(c) (8 puntos)\fP Utilice la condición de equilibrio para obtener una expresión +para $dv$ en términos de $dr$. Integre este resultado para hallar la velocidad +del flujo como función de $r$. Muestre que concuerda con el resultado que +vimos en clase [la Ec. (18) en el cap. 18 del libro de texto]. +.EQ +~ +.EN +. +.LP +\fB(d) (8 puntos)\fP Halle una expresión para el flujo de masa por un anillo +entre los $r$ y $r + dr$. Integre el resultado para hallar el flujo de masa +total por el tubo, verificando el resultado visto en clase +[la Ec. (20) en el cap. 18 del libro de texto]. +.EQ +~ +.EN +. +.bp +. +.NH +Número de Reynolds (10 puntos) +.LP +Usando el número de Reynolds, estime la máxima velocidad a la que puede fluir +la sangre en el cuerpo humano, manteniendo un flujo laminar. +Considere una arteria como un tubo cilíndrico de radio $3,8 mm$. +La viscosidad de la sangre a $37 deg C$ es +$eta = 4,0 times 10 sup {-3} N . s /m sup 2$. +La densidad de la sangre entera es $rho = 1,06 times 10 sup 3 kg/m sup 3$. +Justifique claramente su razonamiento. Comente si esta respuesta +le parece razonable. diff --git a/shell/aliasrc b/shell/aliasrc index 78f4f3f..a14c60f 100644 --- a/shell/aliasrc +++ b/shell/aliasrc @@ -17,7 +17,7 @@ alias \ # Common alias \ - ls="COLUMNS=120 exa -alG --icons --group-directories-first --no-permissions --no-user --time-style=iso --git" \ + ls="exa -al --icons --group-directories-first --no-permissions --no-user --time-style=iso --git" \ fzf="fzf --cycle --reverse" \ diff="diff --color=auto" \ grep="grep --color=auto" \